הכירו את הפרבולה
צורה, קודקוד, חיתוכים וסימטריה. הזיזו את הפרבולה בעצמכם וראו איך כל מספר משנה אותה בזמן אמת.
למה פרבולה? כשזורקים כדור לאוויר, כשמים זורמים ממזרקה, וכשמשגרים טיל, המסלול שמצטייר הוא פרבולה. מאחורי הקשת היפה הזו מסתתרת פונקציה אחת פשוטה, ובה נלמד כאן לשלוט, צעד אחר צעד.
האנטומיה של פרבולה
לכל פרבולה יש אותם חלקים בדיוק. כשמכירים אותם, אפשר לקרוא כל גרף במבט אחד. הנה המפה המלאה:
מה מרכיב פרבולה
שישה רעיונות שייתנו לכם שליטה מלאה בכל פרבולה. נסו לשנות במעבדה שלמעלה כל מושג תוך כדי קריאה, וצפו איך הוא משפיע.
מהי פונקציה ריבועית
פונקציה מהצורה y = ax² + bx + c (כאשר a ≠ 0). הגרף שלה תמיד פרבולה. a, b ו-c הם מספרים קבועים שנקראים מקדמים.
כיוון הפתיחה
הסימן של a קובע: אם a > 0 הפרבולה נפתחת כלפי מעלה ויש לה נקודת מינימום, ואם a < 0 כלפי מטה ויש לה נקודת מקסימום.
צורת הקודקוד
בצורה y = a(x - p)² + k הקודקוד נמצא בדיוק בנקודה (p, k). זו הנקודה הנמוכה או הגבוהה ביותר של הפרבולה.
ציר הסימטריה
קו אנכי שעובר דרך הקודקוד ומחלק את הפרבולה לשני חצאים זהים כמו מראה: x = p, או בצורה הכללית x = -b2a.
חיתוכים עם הצירים
החיתוך עם ציר ה-y הוא תמיד בנקודה (0, c). את החיתוכים עם ציר ה-x מוצאים על ידי פתרון המשוואה ax² + bx + c = 0.
רוחב הפתיחה
הערך המוחלט של a קובע כמה הפרבולה צרה או רחבה: a גדול נותן פרבולה צרה, ו-a קטן (קרוב לאפס) נותן פרבולה רחבה.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בדיוק כמו שפותרים בבחינה. שימו לב לשיטה, היא חוזרת על עצמה.
- חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0 ומקבלים y = 6, כלומר הנקודה (0, 6).
- חיתוך עם ציר x: פותרים x² - 5x + 6 = 0, מפרקים ל-(x - 2)(x - 3) = 0, ומקבלים (2, 0) ו-(3, 0).
- קודקוד: שיעור ה-x הוא -b2a = 52 = 2.5, ואז y = 2.5² - 5·2.5 + 6 = -0.25.
- הקודקוד הוא (2.5, -0.25), והפרבולה נפתחת כלפי מעלה.
- מזהים את הצורה: זוהי צורת הקודקוד y = a(x - p)² + k עם p = 2 ו-k = 3.
- קודקוד: לפי הצורה, הקודקוד הוא (p, k) = (2, 3).
- כיוון וסימטריה: המקדם a = 1 > 0, ולכן נפתחת כלפי מעלה, וציר הסימטריה x = 2.
- הקודקוד הוא (2, 3), נקודת המינימום של הפרבולה.
- חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0 ומקבלים (0, 5).
- חיתוך עם ציר x: מפרקים x² - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) = 0, ומקבלים (1, 0) ו-(5, 0).
- קודקוד: שיעור ה-x הוא -b2a = 62 = 3, ואז y = 3² - 6·3 + 5 = -4.
- הקודקוד הוא (3, -4), נקודת המינימום.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף, מחולק לסטים לפי נושא ולסט מעורב. פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים לעוד תרגול. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של Katz School בכפתור שבפינה.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הצורה: y = ax² + bx + c, והגרף תמיד פרבולה.
- 2הכיוון: a > 0 כלפי מעלה (מינימום), a < 0 כלפי מטה (מקסימום).
- 3הקודקוד: בצורת הקודקוד y = a(x - p)² + k הוא (p, k).
- 4ציר הסימטריה: x = p או x = -b2a.
- 5חיתוכים: עם ציר y ב-(0, c), ועם ציר x על ידי פתרון המשוואה.
